До пружини підвісили тягарець, внаслідок чого вона розтягнулась на 16 см. Визначте період коливань тягарця, якщо його відтягнути вниз на 8 см і відпустити. Запишіть рівняння гармонійних коливань

Дано:

$x=0,16\;\text{м}$

$x_m=0,08\;\text{м}$

Знайти: T,  x(t)

Період коливань  пружинного маятника обчислюється за формулою

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$            (1)

Сила тяжіння тягарця   $F=mg$                (2)

Закон Гука     $F=kx$             (3)

(3)=(2)

$kx=mg$                (4)

$k=\frac{mg}{x}$                    (5)

Підставимо (5) у (1)

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{x}}}=2\pi\sqrt{\frac{x}{g}}$              (6)

$T=2*3,14*\sqrt{\frac{0,16}{9,81}}\approx 7,9\;c$             (7)

$T=2*3,14*\sqrt{\frac{0,16}{9,81}}\approx 0,79\;c$             (7)

Рівняння гармонійних коливань у загальному вигляді:

$x(t)=x_m\cos(wt+\phi_0)$                         (8)

де $x_m,\;w,\;t,\;\phi_0$ - відповідно амплітуда коливань, циклічна частота, час, початкова фаза (вона у нас дорівнює нулю).

Циклічна частота пов'язана з періодом коливань залежністю:

$w=\frac{2\pi}{T}=\frac{2*3,14}{7,9}\approx 0,79\;\text{рад/с}$                   (9)

$w=\frac{2\pi}{T}=\frac{2*3,14}{7,9}\approx 7,95\;\text{рад/с}$                   (9)

Маємо рівняння гармонійних коливань:

$x(t)=0,08\cos (0,79t)$ 

$x(t)=0,08\cos (7,95t)$