Амплітуда коливання ніжок камертона 5 мм, а частота 100 Гц.

Амплітуда коливання ніжок камертона 5 мм, а частота 100 Гц. Написати рівняння коливання за синусоїдальним законом і знайти максимальне значення швидкості і прискорення. Почтакова фаза дорівнює нулю

Рівняння коливання за синусоїдальним законом у загальному виді записується наступним чином:

$x(t)=X_m\sin (wt+\phi)$            (1)

де $x(t),\;X_m,\;w,\;t,\;\phi$  -  відповідно значення координати точки, яка здіснює коливання, у деякий момент часу t, амплітуда коливань, циклічна частота коливань, час, початкова фаза.

Циклічна частота пов'язана з лінійною частотою рівнянням:

$w=2\pi f$               (2)

де f - лінійна частота.

Циклічна частота вимірюється в радіанах за секунду, а лінійна - у герцах.

З урахуванням (2) вираз (1) має вид (3):

$x(t)=X_m\sin (2\pi ft+\phi)$             (3)

Підставимо вихідні дані у (3)

$x(t)=0,005\sin (2*3,14*100+0)=0,005\sin (628t)$             (4)

Перша похідна від рівняння коливань дає нам залежність швидкості від часу, а друга - залежність прискорення від часу.

$v(t)=\frac{d(v(t))}{dt}=\frac{d(0,005\sin(628t)}{dt}=0,005*628\cos(628t)=3,14\cos(628t)$      (5)

Максимального значення   (5) набуває, коли косинус має значення 1.    Таким чином, максимальна швидкість

$v_{max}=3,14\;\text{м/с}$                  (6)

Прискорення      $a(t)=\frac{d(v(t))}{dt}=\frac{d(3,14\cos (628t))}{dt}=-1971,92\sin(628t)$

Максимальне прискорення    $a_{max}=1971,92\;\text{м/с}^2$