Маса деякої планети в 2 рази менша ніж маса Землі. Який радіус цієї планети, якщо прискорення вільного падіння на її поверхні таке ж як на Землі? Радіус Землі 6400 км

Маса деякої планети в 2 рази менша ніж маса Землі. Який радіус цієї планети, якщо прискорення вільного падіння на її поверхні таке ж як на Землі? Радіус Землі 6400 км

Дано:

$m_n=\frac{m_з}{2}$

$a=g=9,81$ $м/с^2$

$R_з=6400000$ м

Знайти:  $R_n$

Сила тяжіння на планеті згідно закону всесвітнього тяжіння визначається формулою     

$F=G\frac{m_nm_т}{R^2}$               (1)

де $G,\;m_n,\;m_т,\;R$    -  відповідно гравітаційна стала, маса планети, маса  тіла, відстань між тілом і центром планети.   У випадку, якщо тіло знаходиться на поверхні планети, то відстань від тіла до центру планети  - це і є радіус планети. 

Згідно другому закону Ньютона    $F=ma$                 (2)

Таким чином, якщо (1) поділити на масу тіла, то отримаємо прискорення вільного падіння на поверхні планети. 

$a=G\frac{m_n}{R_n^2}$              (3)

Аналогічно прискорення вільного падіння на поверхні Землі

$g=G\frac{m_з}{R_з^2}$                 (4)

Поділимо (4) на (3)

$\frac{g}{a}=\frac{G\frac{m_з}{R_з^2}}{G\frac{m_n}{R_n^2}}$                     (5)

$\frac{g}{a}=\frac{m_зR_n}{m_nR_з^2}$                     (6)

Згідно умови g=a, тоді   $\frac{g}{a}=1$                        (7)        

$\frac{m_зR_n}{m_nR_з^2}=1$                (8)

$R_n=\frac{m_nR_з}{m_3}$                (9)

Згідно умови  $m_n=\frac{m_з}{2}$            (10)

$R_n=\frac{\frac{m_з}{2}*R_з}{m_3}=\frac{R_з}{2}$                 (11)

$R_n=\frac{6400000}{2}=3200000$ м

Відповідь:     радіус планети 3200 км