Граната, яка рухалась під кутом 30 градусів до горизонту зі швидкістю 15 м/с, розірвалася на два осколки однакової маси. Один із них полетів горизонтально у зворотньому напрямку зі швидкістю 30 м/с. Визначте швидкість і напрямок руху іншого осколку.

Дано:

$a=30^{\circ}$

$v_0=15$ м/с

$m_1=m_2=0,5m$

$v_1=30$ м/с

Знайти:  $v_2,\;b$

Зобразимо рисунок. 

Помістимо гранату до моменту розриву у початок координат ХОУ.  

Початковий імпульс гранати покажемо у вигляді вектора Ро, імпульс першого осколка Р1.

Тоді, згідно закону збереження імпульсу сума векторів імпульсів осколків має  дорівнювати початковому вектору імпульсу гранати. 

Вектор імпульсу другого осколка Р2 знаходимо  шляхом віднімання вектора імпульсу першого осколка Р1 від початкового вектора імпульсу гранати Ро.  Віднімання векторів робиться просто. Початки обох векторів  Р1 і Ро  розташувати так, щоб вони виходили з однієї точки. У нас це саме так, в іншому випадку знадобилося би паралельне перенесення вектора. Далі, кінці вектора з'єднуємо і ставим стрілочку у напрямку до зменшуваного вектора (у нас це Ро). Отримали результат. Паралельно переносимо вектор до точки початку перших двох векторів. Наш вектор різниці векторів Р2 уже на місці.

Тепер запишемо рівняння проекцій векторів на горизонтальну і вертикальну осі. 

ОХ:    $P_o\cos a=P_2\cos b-P_1$          (1)

OY:    $P_o\sin a=P_2\sin b$                   (2)

Маємо систему двох рівнянь з двома невідомими.

Імпульси можемо подати у вигляді $P=mv$

$mv_0\cos a=0,5mv_2\cos b-0,5mv_1$          (3)

$mv_0\sin a=0,5mv_2\sin b$                           (4)

Помножимо рівняння (3) і (4) на $\frac{2}{m}$

$2v_0\cos a=v_2\cos b-v_1$          (5)

$2v_0\sin a=v_2\sin b$                  (6)

$v_2\cos b=2v_0\cos a+v_1$            (7)

$v_2\sin b=2v_0sin a$                       (8)

$v_2\cos b=2*15*\cos 30^{\circ}+30$           (9)

$v_2\sin b=2*15*\sin 30^{\circ}$                   (10)

$v_2\cos b\approx 56$           (11)

$v_2\sin b=15$                       (12)

Поділимо рівняння (12) на рівняння (11)/

$\frac{sin b}{\cos b}\approx 0,268$        (13)

$\frac{\sin b}{\cos b}=tg b$             (14)

$tg b=0,268$

$b=arctg (0,268)\approx 15^{\circ}$           (15)

Із рівняння (15) витікає:   

$v_2=\frac{15}{\sin 15^{\circ}}\approx 58$ м/с          (16)

Відповідь: швидкість другого осколка 58 м/с і направлена під кутом 15 градусів до горизонту.

Другий спосіб рішення задачі з використанням геометрії. 

$P_1=0,5mv_1=0,5m*30=15m$            (17)

$P_o=mv_0=m*15=15m$              (18)

Маємо $P_1=P_0$  

Таким чином, трикутник $P_1OP_0$  рівнобедрений.    Кути  с і d   рівні, як кути при основі рівнобедреного трикутника. 

Кут $е=180^{\circ}-а=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$  

$e+c+d=180^{\circ}$             $e+2c=180^{\circ}$       

$2c=180^{\circ}-e=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$  

$c=d=15^{\circ}$ 

$b=c$   як відповідні кути при паралельних прямих і січною.

$b=15^{\circ}$

У прямокутному  трикутнику $P_2O(P_2\cos b)$   $P_2$ - гіпотенуза, 

$P_2=\frac{P_0\sin a}{\sin b}$            (19)

$P_2=m_2v_2=0,5mv_2$                (20)

$0,5mv_2=\frac{mv_0\sin a}{\sin b}$                (21)

$v_2=\frac{2v_0\sin a}{\sin b}$            (22)

$v_2=\frac{2*15*\sin {30^{\circ}}}{\sin {15^{\circ}}}\approx 58$ м/с             (23)

Відповідь: швидкість другого осколка становить 58 м/с і направлена під кутом $15^{\circ}$ до горизонту.