У кімнаті об’ємом 50 м^3 відносна вологість повітря 40%. Якщо випарувати додатково 60 г води, то відносна вологість повітря буде 50%. Визначте температуру повітря у кімнаті. Тиск насиченої пари при 20 °С дорівнює 17,5 мм рт. ст

Дано:

$V=50$ $м^3$

$\phi_1=40\%$

$\phi_2=50\%$

$\Delta m=60$ г

$t_0=20 °С$

$Р_0=17,5$ мм рт. ст

Знайти:  $t_x$

Перший спосіб.

 Відносну вологість повітря прийнято виражати у процентах.  Відносну вологість можна виразити відношенням фактичної маси водяної пари до маси насиченої водяної пари. 

$\phi=\frac{m_1}{m_0}*100%$           (1)

де $m_1,\;m_0$  -  відповідно фактична маса пари і маса насиченої пари при певній температурі.

Але нам буде зручніше виразити відносну вологість у вигляді десяткового  дробу, тобто без множення на 100%.

$\phi_1=\frac{m_1}{m_0}$          (2)

де $\phi_1,\;m_1,\;m_0$  - відповідно відносна вологість початкова, фактична маса пари і маса насиченої пари при температурі, яку ми шукаємо.

Із рівняння (2):   

$m_1=\phi_1m_0$          (3)

$\phi_2=\frac{m_1+\Delta m}{m_0}$          (4)

Із рівняння (4):

$m_1=\phi_2m_0-\Delta m$         (5)

Ліві частини (3) і (5) однакові, тоді праві їх частини рівні.

$\phi_1 m_0=\phi_2m_0-\Delta m$         (6)

Підставимо дані.

$0,4m_0=0,5m_0-60$         (7)

$0,1m_0=60$           (8)

$m_0=600$ грам

 Таким чином, ми отримали масу водяної насиченої пари у кімнаті  при температурі, яку ми намагаємося знайти. 

Якщо   ми поділимо отриману масу насиченої пари на об'єм кімнати, то отримаєм густину насиченої пари. А потім, у таблиці залежності густини насиченої пари від температури, знайдемо,  якій температурі відповідає така густина насиченої пари.    

$\rho_0=\frac{m_0}{V}=\frac{600}{50}=12$  $г/м^3$

У нашій таблиці густина насиченої пари позначена у колонці червоною буквою  "ро"

Ось і отримали температуру 14 градусів за Цельсієм.

Другий спосіб.

Початкова абсолютна вологість:

$\rho_1=\frac{m_1}{V}$         (1)

де $m_1,\;V$ - відповідно початкова маса водяної пари і об'єм приміщення.

Кінцева абсолютна вологість:

$\rho_2=\frac{m_1+\Delta m}{V}$        (2)

Відносну вологість прийнято виражати у процентах. Але нам зручніше виразити її у вигляді десяткового дробу, аби уникнути множення на 100%, яке  буде нам заважати.  Це буде мати такий вигляд.

$\phi_1=0,4$             $\phi_2=0,5$

Відносна вологість початкова:

$\phi_1=\frac{\rho_1}{\rho_0}$          (3)  

де $\rho_0$ - густина насиченої пари при температурі $t_x$ (температурі, яку ми повинні знайти) 

Зробимо підстановку:

(1)👉(3)

$\phi_1=\frac{m_1}{V\rho_0}$            (4)

Відносна вологість кінцева:

$\phi_2=\frac{\rho_2}{\rho_0}$            (5)

Зробимо підстановку:

(2)👉(4)

$\phi_2=\frac{m_1+\Delta m}{V\rho_0}$          (6)

Із рівняння  (6)  маємо:

$\phi_2V\rho_0=(m_1+\Delta m)$         (7)

Із рівняння (4):  

$m_1=\phi_1V\rho_0$         (8)

(8)👉(7)

$\phi_2V\rho_0=\phi_1V\rho_0+\Delta m$         (9)

$\phi_2V\rho_0-\phi_1V\rho_0=\Delta m$         (10)

$\rho_0*(\phi_2V-\phi_1V)=\Delta m$       (11)

Отримуємо вираз для визначення густини насиченої пари: 

$\rho_0=\frac{\Delta m}{phi_2V-\phi_1V}$         (12)

$\rho_0=\frac{60}{0,5*50-0,4*50}=12$   $г/м^3$           (13)

Для розв'язання задач на вологість не обійтися без таблиці густини та тиску насиченої пари.   Вона у нас вже привдена вище. 

Таким чином, знаходимо, що густина насиченої пари 12 $г/м^3$   відповідає температурі 14 градусів Цельсія.

Відповідь: 14 градусів.